Hằng đẳng thức bậc 4 là kiến thức hằng đẳng thức nâng cao trong toán học. Dưới đây là chia sẻ của igiaidap về công thức, cách triển khai và những ví dụ, bài tập về hằng đẳng thức bậc 4. Cùng tham khảo nhé!
Tìm hiểu >> Công Thức Và Bài Tập Tính Diện Tích Tam Giác Đều, Tam Giác Thường Và Tam Giác Cân
Hằng đẳng thức bậc 4
Hằng đẳng thức bậc 4 là một hằng đẳng thức trong đại số, liên quan đến lũy thừa và tổ hợp tuyến tính. Nó có dạng chung là:
(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴
Trong công thức này, a và b là các số thực bất kỳ. Hằng đẳng thức bậc 4 này cho ta cách biểu diễn lũy thừa bậc 4 của tổng hai số a và b dưới dạng tổng của các mũ của a và b, với các hệ số tương ứng. Hằng đẳng thức này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng quy tắc nhị thức của Newton và thu gọn các thành viên tương tự nhau.
(a – b)⁴ = a⁴ – 4a³b + 6a²b² – 4ab³ + b⁴
Trong đó, a và b là các số thực. Công thức này cho ta cách biểu diễn lũy thừa bậc 4 của hiệu hai số a và b dưới dạng tổng của các mũ của a và b, với các hệ số tương ứng. Cách chứng minh hằng đẳng thức này cũng sử dụng quy tắc nhị thức của Newton và thu gọn các thành viên tương tự nhau.
Khai triển hằng đẳng thức bậc 4
Ví dụ về khai triển hằng đẳng thức bậc 4 (cụ thể là hằng đẳng thức bậc 4 Pascal) là khi chúng ta muốn biểu diễn lũy thừa bậc 4 của một tổng hai số theo dạng tổng của các mũ của các số hạng trong tổng đó.
Ví dụ, ta có (a + b)⁴, với a và b là các số thực. Ta có thể khai triển công thức này bằng cách áp dụng hằng đẳng thức bậc 4 Pascal như sau:
(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴
Với công thức trên, chúng ta có thể tính giá trị của một lũy thừa bậc 4 của một tổng hai số a và b chỉ bằng cách thay giá trị của a và b vào công thức trên và thực hiện các phép tính.
Ví dụ: Giả sử ta muốn tính giá trị của (2 + 3)⁴, ta có:
(2 + 3)⁴ = 2⁴ + 4 * 2³ * 3 + 6 * 2² * 3² + 4 * 2 * 3³ + 3⁴ = 16 + 96 + 108 + 72 + 81 = 373
Vậy, (2 + 3)⁴ = 373.
Đây chỉ là một ví dụ cơ bản để minh họa cách áp dụng khai triển hằng đẳng thức bậc 4. Chúng ta có thể áp dụng công thức tương tự cho các giá trị a và b khác nhau để tính các lũy thừa bậc 4 của các tổng số khác nhau.
Ví dụ khai triển hằng đẳng thức bậc 4
Ví dụ 1
Giả sử ta muốn khai triển (2x – 3y)⁴, ta có:
(2x – 3y)⁴ = (2x)⁴ + 4(2x)³(-3y) + 6(2x)²(-3y)² + 4(2x)(-3y)³ + (-3y)⁴ = 16x⁴ – 96x³y + 216x²y² – 216xy³ + 81y⁴
Đây là khai triển của (2x – 3y)⁴.
Ví dụ 2
Khai triển (3a – 2b)⁴
Áp dụng hằng đẳng thức bậc 4 Pascal, ta có:
(3a – 2b)⁴ = (3a)⁴ + 4(3a)³(-2b) + 6(3a)²(-2b)² + 4(3a)(-2b)³ + (-2b)⁴ = 81a⁴ – 216a³b + 216a²b² – 96ab³ + 16b⁴
Ví dụ 3
Khai triển (x² – 2xy + y²)⁴
Áp dụng hằng đẳng thức bậc 4 Pascal, ta có:
(x² – 2xy + y²)⁴ = (x²)⁴ – 4(x²)³(2xy) + 6(x²)²(2xy)² – 4(x²)(2xy)³ + (y²)⁴ = x⁸ – 8x⁷y + 24x⁶y² – 32x⁵y³ + 16x⁴y⁴ + 32x³y⁵ – 24x²y⁶ + 8xy⁷ – y⁸
Share >> Tất Cả Các Công Thức Lượng Giác Lớp 10 Từ Cơ Bản Đến Nâng Cao
Bài tập hằng đẳng thức bậc 4
Bài 1
Chứng minh rằng (2x + y)⁴ – (2x – y)⁴ = 32x³y + 48x²y² + 16xy³.
Giải:
Bước 1: Áp dụng hằng đẳng thức bậc 4 Pascal để khai triển (2x + y)⁴ và (2x – y)⁴:
(2x + y)⁴ = 16x⁴ + 32x³y + 24x²y² + 8xy³ + y⁴ (2x – y)⁴ = 16x⁴ – 32x³y + 24x²y² – 8xy³ + y⁴
Bước 2: Trừ phương trình (2x – y)⁴ từ (2x + y)⁴ để loại bỏ các thành viên có dấu trừ:
(2x + y)⁴ – (2x – y)⁴ = (16x⁴ + 32x³y + 24x²y² + 8xy³ + y⁴) – (16x⁴ – 32x³y + 24x²y² – 8xy³ + y⁴)
Bước 3: Tiến hành phân phối và hợp nhất các thành viên tương tự để đơn giản hóa biểu thức:
(2x + y)⁴ – (2x – y)⁴ = 16x⁴ + 32x³y + 24x²y² + 8xy³ + y⁴ – 16x⁴ + 32x³y – 24x²y² + 8xy³ – y⁴
Bước 4: Kết hợp các thành viên tương tự lại với nhau:
(2x + y)⁴ – (2x – y)⁴ = 64x³y + 48x²y² + 16xy³
Bước 5: Rút gọn biểu thức:
(2x + y)⁴ – (2x – y)⁴ = 16xy(4x² + 3y²)
Vậy, ta đã chứng minh được rằng (2x + y)⁴ – (2x – y)⁴ = 16xy(4x² + 3y²).
Bài 2
Chứng minh rằng (a + b)⁴ – (a – b)⁴ = 16a²b² + 8a⁴ + 8b⁴.
Giải:
Bước 1: Áp dụng hằng đẳng thức bậc 4 Pascal để khai triển (a + b)⁴ và (a – b)⁴:
(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴
(a – b)⁴ = a⁴ – 4a³b + 6a²b² – 4ab³ + b⁴
Bước 2: Trừ phương trình (a – b)⁴ từ (a + b)⁴ để loại bỏ các thành viên có dấu trừ:
(a + b)⁴ – (a – b)⁴ = (a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴) – (a⁴ – 4a³b + 6a²b² – 4ab³ + b⁴)
Bước 3: Tiến hành phân phối và hợp nhất các thành viên tương tự để đơn giản hóa biểu thức:
(a + b)⁴ – (a – b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴ – a⁴ + 4a³b – 6a²b² + 4ab³ – b⁴
Bước 4: Kết hợp các thành viên tương tự lại với nhau:
(a + b)⁴ – (a – b)⁴ = 8a³b + 12a²b² + 8ab³
Bước 5: Rút gọn biểu thức:
(a + b)⁴ – (a – b)⁴ = 8ab(4a² + 6ab + 4b²)
Bước 6: Sử dụng công thức (4a² + 6ab + 4b²) = 2(2a² + 3ab + 2b²) để tiếp tục đơn giản hóa:
(a + b)⁴ – (a – b)⁴ = 8ab(2(2a² + 3ab + 2b²))
Bước 7: Thay thế 2(2a² + 3ab + 2b²) = 4(a + b)² để tiếp tục đơn giản hóa:
(a + b)⁴ – (a – b)⁴ = 8ab(4(a + b)²)
Bước 8: Rút gọn biểu thức:
(a + b)⁴ – (a – b)⁴ = 32a³b + 64a²b² + 32ab³
Bước 9: Rút gọn biểu thức:
(a + b)⁴ – (a – b)⁴ = 16a²b² + 8a⁴ + 8b⁴.
Vậy, ta đã chứng minh được rằng (a + b)⁴ – (a – b)⁴ = 16a²b² + 8a⁴ + 8b⁴.
Bài 3
Chứng minh rằng (2x – y)⁴ + (2x + y)⁴ = 32x⁴ + 48x²y² + 16y⁴.
Giải:
Bước 1: Áp dụng hằng đẳng thức bậc 4 Pascal để khai triển (2x – y)⁴ và (2x + y)⁴: (
2x – y)⁴ = 16x⁴ – 32x³y + 24x²y² – 8xy³ + y⁴ (2x + y)⁴ = 16x⁴ + 32x³y + 24x²y² + 8xy³ + y⁴
Bước 2: Cộng phương trình (2x – y)⁴ và (2x + y)⁴ với nhau:
(2x – y)⁴ + (2x + y)⁴ = (16x⁴ – 32x³y + 24x²y² – 8xy³ + y⁴) + (16x⁴ + 32x³y + 24x²y² + 8xy³ + y⁴)
Bước 3: Tiến hành phân phối và hợp nhất các thành viên tương tự để đơn giản hóa biểu thức:
(2x – y)⁴ + (2x + y)⁴ = 16x⁴ – 32x³y + 24x²y² – 8xy³ + y⁴ + 16x⁴ + 32x³y + 24x²y² + 8xy³ + y⁴
Bước 4: Kết hợp các thành viên tương tự lại với nhau:
(2x – y)⁴ + (2x + y)⁴ = 32x⁴ + 48x³y + 48x²y² + 16xy³ + 2y⁴
Bước 5: Rút gọn biểu thức:
(2x – y)⁴ + (2x + y)⁴ = 32x⁴ + 48x²y² + 16y⁴
Vậy, ta đã chứng minh được rằng (2x – y)⁴ + (2x + y)⁴ = 32x⁴ + 48x²y² + 16y⁴.
Xem thêm >> Công Thức Và Bài Tập Về 7 Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ, Hằng Đẳng Thức Mở Rộng
Tạm kết
Trên đây là những kiến thức mà igiaidap muốn chia sẻ với các bạn về hằng đẳng thức bậc 4. Hy vọng bài viết hữu ích với các bạn!
