Hằng đẳng thức nhị thức bậc 5 là một trong những kiến thức về hằng đẳng thức nâng cao quan trọng. Cùng igiaidap tìm hiểu công thức, ví dụ triển khai và bài tập về hằng đẳng thức nhị thức bậc 5 nhé!
Tìm hiểu >> Công Thức Và Bài Tập Về 7 Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ, Hằng Đẳng Thức Mở Rộng
Hằng đẳng thức nhị thức bậc 5
Hằng đẳng thức nhị thức bậc 5, còn được gọi là hằng đẳng thức Newton, là một công thức quan trọng trong đại số tổ hợp. Nó được biểu diễn bằng công thức sau:
(a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵
Đây là công thức khai triển lũy thừa bậc 5 của một tổng hai số a và b. Hằng đẳng thức nhị thức bậc 5 có thể được sử dụng để tính toán giá trị cụ thể của một lũy thừa bậc 5 của một tổng hai số hoặc để giải quyết các bài toán liên quan đến đếm và tổ hợp trong toán học tổ hợp.
Công thức này có ứng dụng rộng rãi trong lĩnh vực xác suất, kỹ thuật, và nhiều lĩnh vực toán học khác.
Hằng đẳng thức nhị thức bậc 5 không áp dụng cho khai triển lũy thừa bậc 5 của một hiệu hai số a và b. Công thức hằng đẳng thức nhị thức bậc 5 chỉ áp dụng cho khai triển lũy thừa bậc 5 của một tổng hai số a và b.
Lý do là công thức nhị thức bậc 5 được dẫn chứng bằng cách sử dụng quy tắc phân phối và quy tắc mũ trên tổng hai số. Khi khai triển một lũy thừa bậc 5 của một hiệu hai số a và b, các thành viên trong khai triển không tuân theo cùng một mô hình như trong công thức nhị thức bậc 5.
Do đó, không có một công thức tổng quát tương tự như hằng nhị thức bậc 5 để biểu diễn khai triển lũy thừa bậc 5 của một hiệu hai số. Để tính toán giá trị cụ thể của lũy thừa bậc 5 của một hiệu hai số, ta phải thực hiện các phép tính mũ và phân phối theo các thành viên trong hiệu đó.
Share >> Tất Cả Các Công Thức Lượng Giác Lớp 10 Từ Cơ Bản Đến Nâng Cao
Ví dụ hằng đẳng thức nhị thức bậc 5
Ví dụ 1
Tính giá trị của (2x – 3y)⁵.
Áp dụng công thức nhị thức bậc 5, ta có:
(2x – 3y)⁵ = (2x)⁵ + 5(2x)⁴(-3y) + 10(2x)³(-3y)² + 10(2x)²(-3y)³ + 5(2x)(-3y)⁴ + (-3y)⁵
Rút gọn các thành viên:
(2x – 3y)⁵ = 32x⁵ – 240x⁴y + 720x³y² – 1080x²y³ + 810xy⁴ – 243y⁵
Vậy, giá trị của (2x – 3y)⁵ là 32x⁵ – 240x⁴y + 720x³y² – 1080x²y³ + 810xy⁴ – 243y⁵.
Ví dụ 2
Tính giá trị của (3a – 2b)⁵.
Áp dụng công thức nhị thức bậc 5, ta có:
(3a – 2b)⁵ = (3a)⁵ + 5(3a)⁴(-2b) + 10(3a)³(-2b)² + 10(3a)²(-2b)³ + 5(3a)(-2b)⁴ + (-2b)⁵
Rút gọn các thành viên:
(3a – 2b)⁵ = 243a⁵ – 810a⁴b + 1080a³b² – 720a²b³ + 270ab⁴ – 32b⁵
Ví dụ 3
Tính giá trị của (2x² + 3y)⁵.
Áp dụng công thức nhị thức bậc 5, ta có:
(2x² + 3y)⁵ = (2x²)⁵ + 5(2x²)⁴(3y) + 10(2x²)³(3y)² + 10(2x²)²(3y)³ + 5(2x²)(3y)⁴ + (3y)⁵
Rút gọn các thành viên:
(2x² + 3y)⁵ = 32x¹⁰ + 240x⁸y + 720x⁶y² + 1080x⁴y³ + 810x²y⁴ + 243y⁵
Ví dụ 4
Tính giá trị của (-a – b)⁵.
Áp dụng công thức nhị thức bậc 5, ta có:
(-a – b)⁵ = (-a)⁵ + 5(-a)⁴(-b) + 10(-a)³(-b)² + 10(-a)²(-b)³ + 5(-a)(-b)⁴ + (-b)⁵
Rút gọn các thành viên:
(-a – b)⁵ = -a⁵ – 5a⁴b – 10a³b² – 10a²b³ – 5ab⁴ – b⁵
Bài tập hằng đẳng thức nhị thức bậc 5
Bài tập 1
Tính tổng các hệ số của khai triển của biểu thức (a + b)⁵.
Áp dụng hằng đẳng thức nhị thức bậc 5, ta có:
(a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵
Tổng các hệ số của khai triển là: 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32
Vậy tổng các hệ số của khai triển của biểu thức (a + b)⁵ là 32.
Bài tập 2
Tính giá trị của biểu thức (2x – 3)⁵ khi x = 2.
Áp dụng hằng đẳng thức nhị thức bậc 5, ta có:
(2x – 3)⁵ = (2x)⁵ – 5(2x)⁴(3) + 10(2x)³(3)² – 10(2x)²(3)³ + 5(2x)(3)⁴ – 3⁵
Thay x = 2 vào biểu thức ta có:
(2(2) – 3)⁵ = (4 – 3)⁵ = 1⁵ = 1
Vậy giá trị của biểu thức (2x – 3)⁵ khi x = 2 là 1.
Bài tập 3
Giải phương trình (x + 1)⁵ = 32.
Áp dụng công thức nhị thức bậc 5, ta có:
(x + 1)⁵ = x⁵ + 5x⁴ + 10x³ + 10x² + 5x + 1
Ta giải phương trình bằng cách đặt (x + 1)⁵ = 32:
x⁵ + 5x⁴ + 10x³ + 10x² + 5x + 1 = 32
x⁵ + 5x⁴ + 10x³ + 10x² + 5x – 31 = 0
Đây là một phương trình bậc 5, ta có thể sử dụng các phương pháp khác nhau để tìm nghiệm.
Bài tập 4
Tính tổng các giá trị của các lũy thừa bậc 5 của các số nguyên từ 1 đến n.
Để tính tổng các giá trị lũy thừa bậc 5 từ 1 đến n, ta áp dụng hằng đẳng thức nhị thức bậc 5:
1⁵ + 2⁵ + 3⁵ + … + n⁵
Ở đây, mỗi thành phần của tổng là một lũy thừa bậc 5 của các số nguyên từ 1 đến n. Ta có thể tính tổng bằng cách sử dụng công thức tổng của dãy số.
Công thức tổng của dãy số lũy thừa bậc 5 là:
S = (n(n+1)/2)⁵
Trong đó, n là số nguyên cuối cùng trong dãy (trong trường hợp này là n). Ta thay n vào công thức và tính giá trị của tổng S.
Ví dụ, nếu ta muốn tính tổng các giá trị lũy thừa bậc 5 từ 1 đến 10, ta sẽ có:
S = (10(10+1)/2)⁵ = (55/2)⁵ = 3025
Vậy tổng các giá trị lũy thừa bậc 5 từ 1 đến 10 là 3025.
Xem thêm >> Công Thức Và Ví Dụ Bài Tập Khai Triển Hằng Đẳng Thức Bậc 4
Tạm kết
Trên đây là chia sẻ của igiaidap về hằng đẳng thức nhị thức bậc 5. Hy vọng bài viết hữu ích với các bạn!
