Công Thức Và Bài Tập Về 7 Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ, Hằng Đẳng Thức Mở Rộng

Hằng đẳng thức là một trong những kiến thức quan trọng trong chương trình toán học cấp 2. Dưới đây là công thức và bài tập về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và các hằng đẳng thức mở rộng mà igiaidap tổng kết đến các bạn. Cùng theo dõi nhé!

Tìm hiểu >> 1 Newton, 10 Newton Bằng Bao Nhiêu Kg? Bảng Quy Đổi Newton (N) Sang Các Đơn Vị Đo Khối Lượng Khác

7 hằng đẳng thức đáng nhớ

• Bình phương của một tổng: (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

• Bình phương của một hiệu: (a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2

• Hiệu hai bình phương: a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)

• Lập phương của một tổng: (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

• Lập phương của một hiệu: (a – b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3

• Tổng hai lập phương: a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2)

• Hiệu hai lập phương: a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2)

Bài tập về các hằng đẳng thức đáng nhớ

Bình phương của một tổng

Bài 1: Tính giá trị của biểu thức (3x + 4)^2.

Giải:

Theo hằng đẳng thức bình phương của một tổng, ta có: (3x + 4)^2 = (3x)^2 + 2(3x)(4) + 4^2 = 9x^2 + 24x + 16

Vậy, giá trị của biểu thức (3x + 4)^2 là 9x^2 + 24x + 16.

Bài 2: Tính giá trị của biểu thức (2a – 5b)^2.

Giải:

Theo hằng đẳng thức bình phương của một tổng, ta có: (2a – 5b)^2 = (2a)^2 + 2(2a)(-5b) + (-5b)^2 = 4a^2 – 20ab + 25b^2

Vậy, giá trị của biểu thức (2a – 5b)^2 là 4a^2 – 20ab + 25b^2.

Bình phương của một hiệu

Tính giá trị của biểu thức (3x – 2y)^2.

Giải:

Theo hằng đẳng thức bình phương của một hiệu, ta có: (3x – 2y)^2 = (3x)^2 – 2(3x)(2y) + (-2y)^2 = 9x^2 – 12xy + 4y^2

Vậy, giá trị của biểu thức (3x – 2y)^2 là 9x^2 – 12xy + 4y^2.

Hiệu hai bình phương

Tính (x-2)(x+2)

Giải:

Ta có: (x-2)(x+2) = (x)^2 – 2^2 = x^2 – 4

Lập phương của một tổng

Tính giá trị của biểu thức (2x + 3y)^3.

Giải:

Theo hằng đẳng thức lập phương của một tổng, ta có: (2x + 3y)^3 = (2x)^3 + 3(2x)^2(3y) + 3(2x)(3y)^2 + (3y)^3 = 8x^3 + 12x^2y + 18xy^2 + 27y^3

Vậy, giá trị của biểu thức (2x + 3y)^3 là 8x^3 + 12x^2y + 18xy^2 + 27y^3.

Lập phương của một hiệu

Tính giá trị của biểu thức (2x – 5)^3.

Giải:

Theo hằng đẳng thức lập phương của một hiệu, ta có: (2x – 5)^3 = (2x)^3 – 3(2x)^2(5) + 3(2x)(5^2) – 5^3 = 8x^3 – 60x^2 + 150x – 125

Vậy, giá trị của biểu thức (2x – 5)^3 là 8x^3 – 60x^2 + 150x – 125.

Tổng hai lập phương

Tính giá trị của biểu thức (2x)^3 + (3y)^3.

Giải:

Theo hằng đẳng thức tổng hai lập phương, ta có: (2x)^3 + (3y)^3 = (2x + 3y)((2x)^2 – (2x)(3y) + (3y)^2) = (2x + 3y)(4x^2 – 6xy + 9y^2)

Vậy, giá trị của biểu thức (2x)^3 + (3y)^3 là (2x + 3y)(4x^2 – 6xy + 9y^2).

Hiệu hai lập phương

Tính giá trị của biểu thức (2x)^3 – (3y)^3.

Giải:

Theo hằng đẳng thức hiệu hai lập phương, ta có: (2x)^3 – (3y)^3 = (2x – 3y)((2x)^2 + (2x)(3y) + (3y)^2) = (2x – 3y)(4x^2 + 6xy + 9y^2)

Vậy, giá trị của biểu thức (2x)^3 – (3y)^3 là (2x – 3y)(4x^2 + 6xy + 9y^2).

Share >>  Công Thức Và Bài Tập Có Lời Giải Về Tính Chu Vi Và Diện Tích Hình Vuông

Hằng đẳng thức mở rộng

Hằng đẳng thức mở rộng bậc 2

• (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
• (a + b − c)² = a² + b² + c² + 2ab − 2ac − 2bc
• (a – b − c)² = a² + b² + c² − 2ab − 2ac + 2bc

Hằng đẳng thức bậc 3 mở rộng

• a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab(a + b)
• a³ – b³ = (a – b)³ + 3ab(a – b)
• (a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3(a + b)(a + c)(b + c)
• a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca)
• (a – b)³+(b – c)³+(c –a )³ = 3(a – b)(b – c)(c – a)
• (a + b)(b + c)(c + a) – 8abc = a(b – c)² + b(c – a)² + c(a – b)²
• (a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) − abc
• (a + b)(b + c)(c + a) – 8abc = a(b – c)² + b(c – a)² + c(a – b)²
• (a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) − abc

Hằng đẳng thức bậc 4

( a + b )⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

Hằng đẳng thức bậc 5

( a + b )⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ +b⁵

Hằng đẳng thức dạng tổng quát

aⁿ + bⁿ = (a + b)(aⁿ – 1 − aⁿ − 2b + aⁿ − 3b² − aⁿ − 4b³ +…+ a²bⁿ – 3 − a.bⁿ −  2 + bⁿ −1)

*Với n là số lẻ thuộc tập N

aⁿ – bⁿ=(a – b)(aⁿ – 1 + aⁿ – 2b + aⁿ –3 b² +…+ a²bⁿ – 3 + abⁿ –2  + bⁿ – 1)

Bài tập về các hằng đẳng thức mở rộng

Bài tập 1

Tìm x biết:

1. a) (x – 3)(x^2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 – x) = 0.
2. b) (x + 1)^3 – (x – 1)^3 – 6(x – 1)^2 = –10.

Lời giải:

a) Áp dụng các hằng đẳng thức: (a – b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 – b^3 (a – b)(a + b) = a^2 – b^2

Khi đó ta có (x – 3)(x^2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 – x) = 0.

⇔ x^3 – 33 + x(22 – x^2) = 0 ⇔ x^3 – 27 + x(4 – x^2) = 0

⇔ x^3 – x^3 + 4x – 27 = 0

⇔ 4x – 27 = 0 ⇔ x = 27/4.

Vậy giá trị x cần tìm là x = 27/4.

b) Áp dụng hằng đẳng thức: (a – b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3 (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 (a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2

Khi đó ta có: (x + 1)^3 – (x – 1)^3 – 6(x – 1)^2 = –10.

⇔ (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) – (x^3 – 3x^2 + 3x – 1) – 6(x^2 – 2x + 1) = –10

⇔ 6x^2 + 2 – 6x^2 + 12x – 6 = –10

⇔ 12x = –6 ⇔ x = –1/2.

Vậy giá trị x cần tìm là x = –1/2.

Bài tập 2

Rút gọn biểu thức:

A = (x – 2y)(x^2 + 2xy + y^2) – (x + 2y)(x^2 – 2xy + y^2)

Lời giải:

Áp dụng hằng đẳng thức: (a – b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3

Khi đó ta có: A = (x – 2y)(x^2 + 2xy + y^2) – (x + 2y)(x^2 – 2xy + y^2)

A = x^3 – (2y)^3 – [x^3 + (2y)^3]

A = x^3 – 8y^3 – x^3 – 8y^3 = -16y^3

Bài tập 3

Tìm x biết x^2 – 16 + x(x – 4) = 0

Lời giải:

Ta có: x^2 – 16 + x(x – 4) = 0

⇔ (x + 4)(x – 4) + x(x – 4) = 0

⇔ (x + 4 + x)(x – 4) = 0

⇔ (2x + 4)(x – 4) = 0

⇔ 2x + 4 = 0 hoặc x – 4 = 0

• Nếu 2x + 4 = 0 thì x = -2
• Nếu x – 4 = 0 thì x = 4

Vậy x = -2 hoặc x = 4.

Bài tập 4

Tính giá trị của biểu thức

A = 8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3 tại x = 2 và y = -1.

Lời giải:

Áp dụng hằng đẳng thức (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3.

Khi đó ta có:

A = 8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3 = (2x)^3 + 3(2x)^2y + 3(2x)y^2 + y^3 = (2x + y)^3

Với x = 2 và y = -1 ta có A = (2*2 – 1)^3 = 3^3 = 27.

Vậy giá trị của biểu thức A tại x = 2 và y = -1 là 27.

Xem thêm >> Công Thức, Bài Tập Và Lời Giải Tính Chu Vi Tam Giác, Tam Giác Vuông

Tạm kết

Trên đây là toàn bộ kiến thức về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và các hằng đẳng thức mở rộng của igiaidap. Hy vọng bài biết hữu ích với các bạn!